蛇の補題の証明

August 29, 2021

補題1

次の完全列の可換図式

が誘導する列 $\Ker b \xrightarrow{i_{bc}} \Ker c \xrightarrow{i_{cd}} \Ker d$ は完全である.

証明

図式を以下のような完全列の図式に分解する.

このときそれぞれの図式に対して以下を示せばよい.

$0 \rightarrow \Ker e \rightarrow \Ker c \rightarrow \Ker d$ は完全である.
$\Ker b \rightarrow \Ker e$ は全射である.

以下のように実際の分解を行なえばよい.

$E := \Ima {I_{BC}}, E' := \Ima {I'_{BC}}$ と定義する. これは分解された図式の射 $e$ を誘導する.

実際 $\Coim I_{BC}$ の普遍性により, ある射 $\Coim I_{BC} \rightarrow \Coim I'_{BC}$ が誘導され, それを像に移したものが $e$ となる. 証明は $\Ima I'_{BC}$ の単射性による.

このようにして構成した $e$ に対して, $I_{BE} \cong \Coim I_{BC}, I'_{BE} \cong \Coim I'_{BC}$ は全射であり, $I_{EC} \cong \Ima I_{BC}, I'_{EC} \cong \Ima I'_{BC}$ は単射になる.

このとき分解された図式は完全になっている. したがって $e$ はうまく定義されている.

以下のような可換図式を考える. (図式が可換であることは誘導の定義による.)

このとき

\begin{aligned} \Ker i_{cd} &\cong \Ima i_{ec} \quad (1\text{より}) \\ &\cong \Ker e \quad (i_{ec}\text{の単射性より}) \\ &\cong \Ima i_{be} \quad (2\text{より}) \\ &\cong \Coim i_{be} \\ &\cong \Coim {i_{ec} \circ i_{be}} \quad (i_{ec}\text{の単射性より}) \\ &\cong \Coim i_{bc} \quad (\text{図式の可換性より}) \\ &\cong \Ima i_{bc} \end{aligned}

となる. 従って完全性が示された.

1について

$i_{ec}$ は単射である.

任意の $f, g$ に対して, $i_{ec} \circ f = i_{ec} \circ g$ とする. このとき

\begin{aligned} \Ker c \circ i_{ec} \circ f &= \Ker c \circ i_{ec} \circ g \\ I_{EC} \circ \Ker e \circ f &= I_{EC} \circ \Ker e \circ g \end{aligned}

により, $I_{EC}, \Ker e$ の単射性から $f = g$ .

このとき $\Ker {(\Ker d \circ i_{cd})} \cong \Ker e$ となることをチェックすればよい. なぜなら, そうだとすると

\begin{aligned} \Ima {i_{ec}} &\cong \Coim {i_{ec}} \\ &= \Coker {\Ker i_{ec}} \\ &\cong \Coker 0 \quad (i_{ec}\text{の単射性より}) \\ &\cong \Ker e \quad (0\text{の余核はcodomainになる}) \\ &\cong \Ker {(\Ker d \circ i_{cd})} \quad (\text{仮定より}) \\ &\cong \Ker {i_{cd}} \quad (\Ker d\text{の単射性より}) \end{aligned}

となり完全性が示されたことになる.

任意のobject $X$ をとり, 以下の図式が可換になったとする.

このとき自然に $X_{CD}$ が誘導される.

\begin{aligned} \Ker {I_{CD}} &\cong \Ima {I_{EC}} \quad (\text{完全性より}) \\ &\cong \Coim {I_{EC}} \\ &\cong E \quad ({I_{EC}}\text{の単射性より}) \end{aligned}

に注意すると, upto isomorphismで以下の可換図式が得られる.

\begin{aligned} I'_{EC} \circ e \circ X_{CD} &= c \circ I_{EC} \circ X_{CD} \\ &= c \circ \Ker c \circ X_c \\ &= 0 \end{aligned}

なので, $I'_{EC}$ が単射であることに注意すると $e \circ X_{CD} = 0$ となる. これと $\Ker e$ の普遍性により $X \xrightarrow{X_e} \Ker e$ が誘導される.

これは $i_{ec} \circ X_e = X_c$ を満たす. 実際

\begin{aligned} \Ker c \circ i_{ec} \circ X_e &= I_{EC} \circ \Ker e \circ X_e \\ &= I_{EC} \circ X_{CD} \quad (X_e\text{は}\Ker e\text{の普遍性により得られた射であるので}) \\ &= \Ker c \circ X_c \end{aligned}

となり, $\Ker c$ の単射性により $i_{ec} \circ X_e = X_c$ となる.

またこのような射は一意である. すなわち $i_{ec} \circ x = X_c$ となる射 $x$ が存在したとすると $X_e = x$ となる. 証明は $i_{ec}$ の単射性による.

従って $\Ker e$ は $\Ker {(\Ker d \circ i_{cd})}$ としての普遍性を持つ. よって $\Ker {(\Ker d \circ i_{cd})} \cong \Ker e$ が示された.

2について

2.1

図式から誘導される射 $\Coker b \xrightarrow{j_{be}} \Coker e$ は同型となる. すなわち図式 $0 \rightarrow \Coker b \xrightarrow{j_{be}} \Coker e \rightarrow 0$ は完全である. なぜなら1の双対な主張により, $0 \cong \Coker a \rightarrow \Coker b \xrightarrow{j_{be}} \Coker e \rightarrow 0$ は完全となるからである. 1の双対な主張は1とほとんど平行に証明される.

2.2

以下の完全列の図式を考える.

$\Ker I'_{BE} \cong \Ima I'_{AB}$ に注意すると以下のような完全列の図式が考えられる.

これに対して1を適用することにより, $0 \rightarrow \Ker 0 \cong \Ker I'_{BE} \xrightarrow{x} \Ima b \xrightarrow{i'_{be}} \Ima e$ が完全であることが判る. $x$ の単射性より

\begin{aligned} \Ima x &\cong \Ker I'_{BE} \\ &\cong \Ima I'_{AB} \end{aligned}

となるが, 標準的な分解 $\Ima b \circ \bar{I'_{AB}} = I'_{AB}$ を考えることで

\begin{aligned} \Ima x &\cong \Ima I'_{AB} \\ &= \Ima {(\Ima b \circ \bar{I'_{AB}})} \\ &\cong \Ima {\bar{I'_{AB}}} \end{aligned}

となる. これは $A \xrightarrow{\bar{I'_{AB}}} \Ima b \xrightarrow{i'_{be}} \Ima e$ の完全性を示している.

2.3

以下のような標準的な分解を通じて

新しい完全列の図式を得る.

図式が可換であること

\begin{aligned} b \circ I_{AB} &= I'_{AB} \circ a \\ \Ima b \circ \bar{b} \circ I_{AB} &= \Ima b \circ \bar{I'_{AB}} \circ a \end{aligned}

よって $\Ima b$ の単射性より, $\bar{b} \circ I_{AB} = \bar{I'_{AB}} \circ a$ .

\begin{aligned} e \circ I_{BE} &= I'_{BE} \circ b \\ \Ima e \circ \bar{e} \circ I_{BE} &= \bar{I'_{BE}} \circ \Ima b \circ \bar{b} \\ &= \Ima e \circ i'_{be} \circ \bar{b} \quad (i'_{be}\text{の定義より}) \end{aligned}

よって $\Ima e$ の単射性より, $\bar{e} \circ I_{BE} = i'_{be} \circ \bar{b}$ .

図式が完全列であること

$a$ はもともと全射, $\bar{b}, \bar{e}$ は分解の仕方により全射となる. 可換性により $i'_{be}$ も全射となる.

このとき $\bar{e} = \Coker {(\Ker e \circ i_{be})}$ となることをチェックすればよい. なぜなら, そうだとすると

\begin{aligned} \Ker e &= \Ker {(\Ima e \circ \bar{e})} \\ &\cong \Ker {\bar{e}} \\ &= \Ker {(\Coker {(\Ker e \circ i_{be})})} \\ &= \Ima {(\Ker e \circ i_{be})} \\ &\cong \Ima {i_{be}} \end{aligned}

となり全射性が示されたことになる.

任意のobject $X$ をとり, 以下の図式が可換になったとする.

このとき $\Coim b$ の普遍性により, 射 $X_b$ が存在する. 同様に $\Coker {(\bar{I'_{AB}} \circ a)}$ の普遍性により射 $X_{ABa}$ が存在する.

$\Ima {(\bar{I'_{AB}} \circ a)} \cong \Ker i'_{be}$ により, $\Coker {(\bar{I'_{AB}} \circ a)} \circ \Ker i'_{be} = 0$ となることに注意すると射 $y$ が誘導される.

このときupto isomorphismで $X_{ABa} \circ y \circ \bar{e} = X_E$ となる. 実際

\begin{aligned} X_{ABa} \circ y \circ \bar{e} \circ I_{BE} &= X_{ABa} \circ y \circ i'_{bc} \circ \bar{b} \\ &= X_b \circ \bar{b} \\ &= X_E \circ I_{BE} \end{aligned}

$I_{BE}$ の全射性により, 主張が従う.

またこのような射は一意である. すなわち $x \circ \bar{e} = X_E$ となる射 $x$ が存在したとすると $X_{ABa} \circ y = x$ となる. 証明は $\bar{e}$ の全射性による.

従って $\Ima e$ は $\Coker {(\Ker e \circ i_{be})}$ としての普遍性を持つ. よって $\bar{e} = \Coker {(\Ker e \circ i_{be})}$ が示された.

補題2

次の完全列の可換図式

が誘導する列 $\Coker a \rightarrow \Coker b \rightarrow \Coker c$ は完全である.

証明

双対な主張と平行に進む.

主張

次の完全列の可換図式

に対して列 $\Ker b \rightarrow \Ker c \rightarrow \Ker d \xrightarrow{\partial} \Coker b \rightarrow \Coker c \rightarrow \Coker d$ は完全である.

ただし射 $\partial$ は以下の図式を可換にするようにただひとつ定まる.

証明

$\Ker {I'_{DE}}$ の普遍性により誘導される射を $f : C' \rightarrow \Ker {I'_{DE}}$ とする.

このとき補題1を2回用いることにより, 完全列の可換図式

を得る.

\begin{aligned} \Ker {I'_{CD} \circ c} &= \Ker {(\Ker {I'_{DE}} \circ f \circ c)} \\ &\cong \Ker {f \circ c} \end{aligned}

に注意する.

同様に $\Coker {I'_{AB}}$ の普遍性により誘導される射を $g : \Coker{I_{AB}} \rightarrow C$ とする.

このとき補題2を2回用いることにより, 完全列の可換図式

を得る. $\Coker (c \circ g) \cong \Coker {(c \circ I_{BC})}$ に注意する.

ここで以下の図式に注意する.

\begin{aligned} \Ker d &\cong \Ima y \quad (\text{全射性より}) \\ &\cong \Coim y = \Coker \Ker y \\ &\cong \Coker \Ima x \\ &= \Coim \Coker x \\ &\cong \Ima \Coker x \\ &\cong \Coker x \end{aligned}

となり, さらに $\Coker x$ の普遍性により射 $v: \Coker x \rightarrow \Coker (c \circ I_{BC})$ が存在して, 上の図式と可換になる. 同様に

\begin{aligned} \Coker b &= \Ima z \\ &\cong \Ker w \end{aligned}

となる. $\Ker w$ の普遍性から射 $\partial : \Coker x \rightarrow \Ker w$ があり, 射 $v$ と図式と可換になる.

$y$ の全射性, $z$ の単射性により $\partial$ は唯ひとつ存在することがわかる.

このとき列が完全であればよい. 補題1と2により以下の列が完全であることを示せばよい.

\Ker c \xrightarrow{i_{cd}} \Ker d \xrightarrow{\partial} \Coker b \\ \Ker d \xrightarrow{\partial} \Coker b \xrightarrow{j_{bc}} \Coker c

すなわち $\Ker \partial \cong \Ima i_{cd}$ , $\Ker j_{bc} \cong \Ima \partial$ を示せばよい.

$\Ker \partial \cong \Ker (z \circ \partial) = \Ker v$ および, 下の図式によると

補題1より, $\Ker \partial \cong \Ima \alpha$ であることがわかる.

加えて以下の図式により,

$\Ima \beta \cong \Ker \gamma$ であることがわかる.

ここで, $\Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c))$ の普遍性により誘導される射 $\delta$ が存在して $\beta = \Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c)) \circ \delta$ を満たす.

\begin{aligned} \Ima \beta &\cong \Ker \gamma \\ &\cong \Ker (\Ker I'_{CD} \circ \gamma) \\ &\cong \Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c)) \end{aligned}

であることに注意すると, $\Ima \delta \cong \Ima (\Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c)) \circ \delta) = \Ima \beta \cong \Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c))$ となり, $\delta$ が全射であることがわかる. 以上の注意により,

\begin{aligned} \Ima i_{cd} &= \Ima (y \circ \beta) \\ &= \Ima (y \circ \Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c)) \circ \delta) \\ &\cong \Ima (y \circ \Ker (c \circ \Ker (I'_{CD} \circ c))) \\ &= \Ima (\Ker v \circ \alpha) \\ &\cong \Ima \alpha \end{aligned}

となり, $\Ker \partial \cong \Ima i_{cd}$ が示された.

$\Ker j_{bc} \cong \Ima \partial$ も双対な証明が成立するはずである.

補題1

証明

1について

ieci_{ec}iec​は単射である.

2について

2.1

2.2

2.3

図式が可換であること

図式が完全列であること

補題2

証明

主張

証明

$i_{ec}$ は単射である.