slice categoryの羃対象を引き戻しが保存すること

October 29, 2019

準備

十分に大きい圏 $C$ を考える. $C$ の対象 $X$ がexponentiableであるとは, 関手 $- \times X \colon C \rightarrow C$ に対して右随伴関手 $(-)^{X} \colon C \rightarrow C$ が存在することである.

また, $C$ の射として $\alpha \colon Y \rightarrow X$ をとるとき, canonicalな構成としてpullbackによる関手 $\alpha^* \colon C/X \rightarrow C/Y$ がある.

主張

$C/X$ の対象 $f$ がexponentiableであるならば, $C/Y$ の対象 $\alpha^* f$ もexponentiableである.

証明

Step1

簡単な事実として, 右随伴関手 $\alpha^* \colon C/X \rightarrow C/Y$ に対する左随伴関手 $\alpha_{\sharp} \colon C/Y \rightarrow C/X$ を考えることができる. (対応としては, $h \mapsto \alpha h$ とすればよい). 実際にunit $\epsilon \colon id \rightarrow \alpha^* \alpha_{\sharp}(= id)$ , counit $\eta \colon \alpha_{\sharp} \alpha^* \rightarrow id$ を定義して, 標準的な公式 :

\begin{aligned} (\eta \alpha_{\sharp}) (\alpha_{\sharp} \epsilon) &= id \\\ (\alpha_{*} \eta) (\epsilon \alpha_{*}) &= id \end{aligned}

をチェックする.

$\epsilon$ は恒等変換とすればよい. $\eta$ はpullbackをとる時に得られるcanonicalなprojectionを使えば構成できる. すると,

\begin{aligned} (\eta \alpha_{\sharp}) &= id \\\ (\alpha_{*} \eta) &= id \end{aligned}

となることがわかる.

Step2

圏 $C/Y$ の対象 $a$ に対して, 以下が成立する.

\alpha_{\sharp} (a \times \alpha^* f) = \alpha_{\sharp} a \times f

以下の図式を辿るとわかる.

Step3

Step1より, $a \in C/Y$ , $b \in C/X$ に対して, 自然同型 $\Hom (\alpha_{\sharp} a, b) \rightarrow \Hom (a, \alpha^* b)$ がある. また仮定より, $c, d \in C/X$ に対して, 自然同型 $\Hom (c \times f, d) \rightarrow \Hom (c, d^f)$ がある.

従って, $a, b \in C/Y$ に対して合成により, 自然同型

\begin{aligned} \Hom (a \times \alpha^{*} f, b) &= \Hom (a \times \alpha^{*} f, \alpha^* \alpha_{\sharp} b) \\\ &\leftarrow \Hom (\alpha_{\sharp} (a \times \alpha^{*} f), \alpha_{\sharp} b) \\\ &= \Hom (\alpha_{\sharp} a \times f, \alpha_{\sharp} b) \\\ &\rightarrow \Hom (\alpha_{\sharp} a, (\alpha_{\sharp} b)^f) \\\ &\rightarrow \Hom (a, \alpha^{*} (-)^f \alpha_{\sharp} b) \end{aligned}

が得られる.

すなわち, 関手 $- \times \alpha^* f \colon C/Y \rightarrow C/Y$ に対して右随伴関手 $\alpha^{*} (-)^f \alpha_{\sharp} \colon C/Y \rightarrow C/Y$ が得られた.