体を含む整域が体になること

September 21, 2020

主張

整域 $R$ は体 $F$ を含む. 線形空間としての次元 $\dim_F R < \infty$ とする. このとき $R$ は体になる.

とくに有限個の元からなる整域は体になる.

$x \in R$ を0でない元とする. このとき $x \in R^{\times}$ であればよい.

ここで

1, x, x^2, \dots, x^{\dim_F R}

は一次従属となる. すなわち,

a_0 + a_1 x + \dots + a_{\dim_F R} x^{\dim_F R} = 0

であって, ある $i$ が存在して, $a_i \neq 0$ となる.

$a_0 \neq 0$ であれば,

- a_0 = x (a_1 + \dots + a_{\dim_F R} x^{\dim_F R - 1})

となり, 主張が従う.

$a_0 = 0$ であれば

x (a_1 + \dots + a_{\dim_F R} x^{\dim_F R - 1}) = 0

となり $R$ が整域であったことから, $x = 0$ または $a_1 + \dots + a_{\dim_F R} x^{\dim_F R - 1} = 0$ となる.

$x = 0$ でないとしたので, $a_1 + \dots + a_{\dim_F R} x^{\dim_F R - 1} = 0$ となるが, $a_1$ に対しても同様の議論により, $a_1 = 0$ としてよい.

この繰りかえしは $a_0, \dots , a_{i - 1} = 0, a_i \neq 0$ となるまでつづく.