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複体のコホモロジー | NotaBene

複体のコホモロジー

October 02, 2021

補題3

射f:X→Yf : X \rightarrow Y, g:Y→Zg : Y \rightarrow Zから導かれる以下の図式は完全である

0→Kerf→Ker(g∘f)→Kerg→Cokerf→Coker(g∘f)→Cokerg→00 \rightarrow \Ker f \rightarrow \Ker (g \circ f) \rightarrow \Ker g \rightarrow \Coker f \rightarrow \Coker (g \circ f) \rightarrow \Coker g \rightarrow 0

証明

省略する

定義

複体C∙=(Cn,∂n:Cn→Cn+1)n∈ZC^\bullet = (C^n, \partial^n : C^n \rightarrow C^{n+1})_{n \in \mathbb{Z}}は以下を満たすものである.

∂n+1∘∂n=0\partial^{n+1} \circ \partial^{n} = 0

また複体の間の射f:C∙→D∙f: C^\bullet \rightarrow D^\bulletは以下を満たす射の族(fn:Cn→Dn)n∈Z(f^n : C^n \rightarrow D^n)_{n \in \mathbb Z}のことである.

fn+1∘∂n=∂n∘fnf^{n+1} \circ \partial^n = \partial^n \circ f^{n}

複体C∙C^\bulletに対して, コホモロジーHn(C∙)H^n(C^\bullet)を以下のように定義する.

Hn(C∙)=Ker∂n/Im∂n−1H^n(C^\bullet) = \Ker \partial^n / \Ima \partial^{n-1}

ここで商は単射in:Im∂n−1→Ker∂ni_n : \Ima \partial^{n-1} \rightarrow \Ker \partial^nのCokerin\Coker i_nを意味している.

ini_nは標準的に定まる. 以下の可換図式をみよ.

diagram1

射f:C∙→D∙f: C^\bullet \rightarrow D^\bulletに対して, 普遍性によりコホモロジーの間の射Hn(f):Hn(C∙)→Hn(D∙)H^n(f) : H^n(C^\bullet) \rightarrow H^n(D^\bullet)が誘導される.

複体の列

0→P∙→fQ∙→gR∙→00 \rightarrow P^\bullet \xrightarrow{f} Q^\bullet \xrightarrow{g} R^\bullet \rightarrow 0

が鎖ごとに完全であるとは, 任意のnnについて

0→Pn→fnQn→gnRn→00 \rightarrow P^n \xrightarrow{f^n} Q^n \xrightarrow{g^n} R^n \rightarrow 0

が完全であることである.

0→P∙→fQ∙→gR∙→00 \rightarrow P^\bullet \xrightarrow{f} Q^\bullet \xrightarrow{g} R^\bullet \rightarrow 0が鎖ごとに完全であるとする.

このとき連結射cnc^nとして以下の図式を完全にするものが存在する

Hn(P∙)→Hn(f)Hn(Q∙)→Hn(g)Hn(R∙)→cnHn+1(P∙)→Hn+1(f)Hn+1(Q∙)H^n(P^\bullet) \xrightarrow{H^n(f)} H^n(Q^\bullet) \xrightarrow{H^n(g)} H^n(R^\bullet) \xrightarrow{c^n} H^{n+1}(P^\bullet) \xrightarrow{H^{n+1}(f)} H^{n+1}(Q^\bullet)

cnc^nの構成法

複体C∙C^\bulletに対して, Zn+1(C∙):=Ker∂n+1Z^{n+1}(C^\bullet) := \Ker \partial^{n+1}, ′Zn(C∙):=Coker∂n−1'Z^n(C^\bullet) := \Coker \partial^{n-1}と置く.

diagram2

普遍性により射dnd^nが存在する. このとき以下のような完全列が存在する.

0→Hn(C∙)→Kerβ′Zn(C∙)→dnZn+1(C∙)→Cokerin+1Hn+1(C∙)→00 \rightarrow H^n(C^\bullet) \xrightarrow{\Ker \beta} {'Z}^n(C^\bullet) \xrightarrow{d^n} Z^{n+1}(C^\bullet) \xrightarrow{\Coker i_{n+1}} H^{n+1}(C^\bullet) \rightarrow 0

補題3により

Ker(Coker∂n−1)(=Im∂n−1)→Ker(β∘Coker∂n+1)(=Ker∂n)→Kerβ→Coker(Coker∂n+1)(=0)→0\Ker (\Coker \partial^{n-1}) (= \Ima \partial^{n-1}) \rightarrow \Ker (\beta \circ \Coker \partial^{n+1}) (= \Ker \partial^n) \rightarrow \Ker \beta \rightarrow \Coker (\Coker \partial^{n+1}) (= 0) \rightarrow 0

が完全となるが5項補題によりKerβ≅Cokerin=Hn(C∙)\Ker \beta \cong \Coker i_n = H^n(C^\bullet)がわかる. 従ってKerdn≅Ker(Ker∂n+1∘dn)=Kerβ≅Hn(C∙)≅ImKerβ\Ker d^n \cong \Ker (\Ker \partial^{n+1} \circ d^n) = \Ker \beta \cong H^n(C^\bullet) \cong \Ima \Ker \betaとなる. 一方Ker(Cokerin+1)=Imin+1≅Im∂n≅Imdn\Ker (\Coker i_{n+1}) = \Ima i_{n+1} \cong \Ima \partial^n \cong \Ima d^nとなっているため完全であることが言えた.

工事中…

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